Matematika i broj Pi- broj koji sadrži baš sve

Broj pi, odnosno p, svakako je najpoznatiji i najčešće korišćen broj koji nije ceo. Jedini brojevi koji su više u upotrebi su mali celi brojevi poput 1, 2 ili 3, zatim 10 kao osnovica dekadnog brojnog sistema, brojevi vezani za merenje vremena poput 12, 24, 60 ili 365, nula kao univerzalni izraz za ništavilo ili odsustvo vrednosti i eventualno –1 kao simbol za čitav svet negativnih brojeva (ili dugova). Zaista nije neophodno uzimati časove matematike da bi se znalo da iskonska matematika nalaže da je odnos između obima i prečnika kruga broj koji se označava sa grčkim slovom pi, odnosno p. Broj pi je tako univerzalna matematička konstanta i to ona koja nam dolazi iz sveta geometrije – mada njegova primena ni izdaleka nije na geometriju ograničena.

Otkud vaš JMBG u broju Pi?

Prvih deset decimala broja pi su p = 3,1415926535… I onda se to dalje nastavlja – u beskonačnost. Ispostavlja se da se cifre u decimalnom razvoju ovog broja nikada ne ponavljaju, ni nakon hiljadu, milion, trilion decimalnih mesta. Trenutno smo u računu stigli do 100 hiljada milijardi (10¹⁴) cifara koje znamo, zahvaljujući japanskoj matematičarki Emi Haruka Ivao, koja je taj rekord postigla i objavila u junu 2022. godine, nakon više od 5 meseci rada superkompjutera. Da bi se toliko cifara zapisalo na hartiji uz uobičajenu veličinu sloga bilo bi potrebno oko 200 miliona knjiga – taman toliko koliko ukupno ima Britanska biblioteka u Londonu, najveća biblioteka na planeti!

Da li u broju p postoji niz od 20 uzastopnih sedmica? Ovo pitanje svojevremeno je kao primer pitanja na koja se ne može dati odgovor ni sa „da“ ni sa „ne“ diskutovao veliki holandski matematičar Lojcen Brauer u vezi sa shvatanjem poznatim kao intuicionizam. Pošto do sada još nismo pronašli 20 sedmica u razvoju broja p to znači da nema iskustvene potvrde te tvrdnje, a sa druge strane teško je zamisliti da među beskonačnim brojem cifara u decimalnom razvoju broja p ne postoji takav konačan i relativno kratak niz cifara. Naprotiv, sa razlogom očekujemo da se negde u beskonačnom nizu cifara broja p krije sve: JMBG svakog od nas, svačiji datum rođenja, numerički enkodirani bilo koji tekst, kao i izgubljeni ili apokrifni tekstovi, ama baš sve što se može izraziti bilo kojim konačnim nizom simbola. Nije ni najmanje čudo da se matematičkim konstantama poput p, e ili imaginarne jedinice i često pripisuju mistična svojstva.

Broj Pi u drevnim građevinama i hramovima

Na izvestan način, to smo oduvek znali. Ne samo da su drevne građevine poput Stounhendža, Angkor Vata ili egipatskih i majanskih piramida posredno uključivale znanje o broju p, već o tome postoje i eksplicitni zapisi. Uzmimo, na primer Bibliju kao jedan od najdrevnijih u potpunosti sačuvanih pisanih dokumenata čovečanstva. U Starom zavetu, u sedmom poglavlju Prve knjige o kraljevima, gde je reč o izgradnji i ukrašavanju Solomonovog hrama u Jerusalimu, nailazimo na jedan od najstarijih eksplicitnih navođenja vrednosti broja p. U verziji Vuka Karadžića i Đure Daničića, odgovarajući red glasi:

1 Kraljevi 7, 23: „I sali more; deset lakata beše mu od jednog kraja do drugog, okruglo unaokolo, pet lakata beše visoko, a unaokolo mu beše trideset lakata.“ 

„More“ o kojem se radi bio je uistinu bazen od istopljene bronze koji je u okviru projekta izgradnje i ukrašavanja jerusalimskog Hrama po želji kralja Solomona izlio tirski graditelj i metalurg Hiram. Lakat je bio drevna mera za dužinu od oko pola metra. U svakom slučaju, koju god jedinicu koristili, Hiramov bazen imao je prečnik od 10 jedinica, a obim („unaokolo“) od 30 istih jedinica, tako da je biblijska približna vrednost bila p = 30/10 = 3. Primenjena matematika na delu!

Međutim, nasuprot drevnim graditeljskim znanjima, stvarnost nije tako jednostavna! Kad bi p doista bio ceo broj, čitav niz poslova za geodete, građevinare, dizajnere, ali i statističare i bankare bio bi mnogo lakše. Stvarnost se, naravno, ne obazire na naše želje i osećanja. Kroz hiljade godina ljudskog iskustva sa merenjima dužina, površina, a ponekad i zapremina, korišćene su najrazličitije aproksimacije „pravoj“ vrednosti broja p, koja je oduvek delovala pomalo zagonetno. Arhimed iz Sirakuze, najveći matematičar antičkog sveta, koristio je približnu vrednost od 22/7 » 3,142857… pri čemu se ovih 6 cifara iza decimalnog zareza periodično ponavlja. Ovaj razlomak se razlikuje od prave vrednosti za p na trećoj decimali, odnosno greška koja se njegovim korišćenjem unosi je svega oko 0,04%. Kineski matematičari koristili su još precizniji razlomak, 355/113 » 3,14159292… koji ima sićušnu grešku koja se ispoljava tek na sedmoj decimali.

Inače, ovaj razlomak se može zapamtiti tako što se prva tri neparna broja ponove dvaput: 11, 33, 55, pa se od njih napravi jedan broj: 113355. Zatim se uzme druga polovina zapisa ovog broja, 355, i podeli sa prvom, koja je jedna 113: 355/113. Na taj način imamo izuzetno preciznu približnu vrednost koja se od „prave“ razlikuje za svega oko 8 milionitih delova procenta (!!!), a pri tom se i lako pamti.

Da li je kvadratura kruga ipak rešiv problem –Pi i matematika starih Grka

Bilo koja priča vezana za broj p bila bi nepotpuna da se ne pomene najslavniji problem u istoriji geometrije u kojem ključnu ulogu igra upravo ovaj broj. Kada se za nešto želi reći da je nemoguće za učiniti, mada ljudi i dalje pričaju puno o tome, to se često kolokvijalno naziva „kvadraturom kruga“. Naziv potiče od antičkog geometrijskog problema u čijem je samom srcu priroda broja p. Zadatak je konstruisati kvadrat koji će imati istu površinu kao i zadani krug. „Konstruisati“ u ovom slučaju znači koristiti stari dobri školski pribor, lenjir i šestar. Kao što smo na časovima geometrije sigurno učili, „konstruktivni“ dokaz je onaj u kojem koristimo samo lenjir i šestar, a ne i druge naprave koje učenicima olakšavaju život, poput uglomera.  

Stari Grci su u ovome, kao i u svemu drugom, utrli put kasnijem razvoju nauke. Anaksagora i Hipokrat sa Hiosa u 5. veku pre naše ere su prvi zabeleženi mislioci koji su se ovim problemom bavili; po legendi koju možda i ne treba uzimati previše ozbiljno, Anaksagora se kvadraturom kruga bavio dok je bio u atinskom zatvoru. Od tada, pa sve do 19. veka bezbrojni znani i neznani matematičari, profesionalci kao i amateri i hobisti, pokušavali su da ovaj ultra-teški problem reše. U 18. veku, matematičari su počeli da sumnjaju da je problem zapravo nerešiv – upravo zbog prirode samog broja p. Ali tek je u 19. veku, radovima matematičara Vajerštrasa i Lindemana pokazano da p pripada novoj i još uvek za mnoge misterioznoj vrsti brojeva: tzv. transcendentnim iracionalnim brojevima. Ne postoji algebarska jednačina čije je rešenje p! I baš zbog toga je kvadratura kruga korišćenjem samo lenjira i šestara nerešiv problem.

O Lindemanovom dokazu ćemo više pričati u jednom od narednih tekstova, kao i o drugim aspektima ovog istinski univerzalnog broja!